剑指 Offer 19. 正则表达式匹配

题目描述

请实现一个函数用来匹配包含$’. ‘$和$’‘$的正则表达式。模式中的字符$’.’$表示任意一个字符，而$’‘$表示它前面的字符可以出现任意次（含0次）。在本题中，匹配是指字符串的所有字符匹配整个模式。例如，字符串$”aaa”$与模式$”a.a”$和$”abaca”$匹配，但与$”aa.a”$和$”ab*a”$均不匹配。

示例 1:

输入:
s = "aa"
p = "a"
输出: false
解释: "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。

示例 2:

输入:
s = "aa"
p = "a*"
输出: true
解释: 因为 '*' 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 'a'。因此，字符串 "aa" 可被视为 'a' 重复了一次。

示例 3:

输入:
s = "ab"
p = ".*"
输出: true
解释: ".*" 表示可匹配零个或多个（'*'）任意字符（'.'）。

示例 4:

输入:
s = "aab"
p = "c*a*b"
输出: true
解释: 因为 '*' 表示零个或多个，这里 'c' 为 0 个, 'a' 被重复一次。因此可以匹配字符串 "aab"。

示例 5:

输入:
s = "mississippi"
p = "mis*is*p*."
输出: false

$s$ 可能为空，且只包含从 $a-z$ 的小写字母。
$p$ 可能为空，且只包含从 $a-z$ 的小写字母以及字符 $.$ 和 $$，无连续的 $’‘$。

注意：本题与主站 10 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/regular-expression-matching/

算法

(动态规划) $O(n^2)$

状态表示：$s$ 的前 $i$ 个字母 s[1~i] 和 $p$ 的前 $j$ 个字母是否匹配（下标从 $1$ 开始比较方便）
状态计算：根据 p[j + 1] 是否为 * 分情况讨论，因为如果 p[j +1] = * 时那么 p[j-j+1] 是一个整体。（$*$ 表示前面的一个字符可以出现任意多次）

特判：如果 $p[j + 1]$ 是 $*$ 的话那么不处理当前字符 $p[j]$，continue，将它们作为一个整体处理，

如果当前字符 $p[j]$ 不是 *，则 f[i][j] = true 当且仅当 s[1~i-1] 和 p[1~j-1] 匹配且 s[i] 和 p[j] 匹配（或者 p[j] == '.' 也是匹配的）f[i][j] = f[i - 1][j - 1] && (s[i] == p[j] || p[j] == '.');
如果当前字符 $p[j]$ 是 *，则遍历 $*$ 号前面的字符出现从 $0$ 次到任意多次与 $s[i]$ 进行匹配。f[i][j] = f[i][j - 2] || (i && f[i - 1][j] && (s[i] == p[j - 1] || p[j - 1] == '.'));，这里经过了状态转移优化，这个优化类似于完全背包优化，都是用 f[i - 1][j] 替换了除出现 $0$ 次以外的循环遍历。

时间复杂度

$O(n^2)$

空间复杂度

$O(n^2)$

C++ 代码

class Solution {
public:
    bool isMatch(string s, string p) {
        int n = s.size(), m = p.size();
        s = ' ' + s, p = ' ' + p;
        vector<vector<bool>> f(n + 1, vector<bool>(m + 1));

        // 两个空串匹配
        f[0][0] = true;
        // i 从 0 开始，因为 s[i] 是空串的时候可能会和 p[j] 匹配成功（当 j + 1 是 *，可以表示 p[j] 出现 0 次，此时两个串匹配成功）
        for (int i = 0; i <= n; i ++ ) {
            // j 从 1 开始，i = 0、j = 0 已经初始化过了，而对于 i != 0、j = 0，空串都不会匹配成功
            for (int j = 1; j <= m; j ++ ) {
                // 如果 p[j] 的下一个字符是 * 就不处理当前字符，因为 p[j] 和 * 在一块才能整体才能表示一个含义
                if (j + 1 <= m && p[j + 1] == '*') continue;
                // p[j + 1] 不是 *，那就看 f[i - 1][j - 1] 是否匹配且当前字符是否匹配
                if (i && p[j] != '*') {
                    f[i][j] = f[i - 1][j - 1] && (s[i] == p[j] || p[j] == '.');
                } else if (p[j] == '*') {
                    // 与 0 个第 j - 1 个字母匹配 || 【1 个 || 2 个 ... 进行了状态转移优化（完全背包优化）】
                    f[i][j] = f[i][j - 2] || (i && f[i - 1][j] && (s[i] == p[j - 1] || p[j - 1] == '.'));
                }
            }
        }

        return f[n][m];
    }
};